1584期  圆曲第三定义背景压轴，不难但新颖！（第三定义与中点弦12点总结）

该篇素材选自今天下午刚考的2026年深圳市高三年级第一次调研考试第19题。该题是一道圆锥曲线压轴、新而不难、主要还是圆锥曲线第三定义背景，几乎全部是围绕斜率展开，没有思维难度，而且（2）问都是定点定直线，而且最后一问利用几何易证，但需要注意到两个直角！

• 一、深圳一模圆锥曲线第三定义
• 二、新教材中出现的第三定义
• 1、椭圆的第三定义
• 2、双曲线的第三定义
• 三、细讲圆锥曲线第三定义
• 1、第三定义
• 2、第三定义结论
• 四、武汉4调这道第三定义19题
• 五、第三定义推广1
• 六、第三定义推广2——中点弦
• 七、有心圆锥第三定义表格总结
• 八、第三定义的六大应用
• 1、求离心率（或范围）
• 2、求斜率、弦长
• 3、求轨迹方程
• 4、对称性问题
• 5、定点（定值）问题
• 6、第三定义综合应用
• 九、如此简单的中点弦竟压轴
• 十、新高考中的隐蔽中点弦
• 十一、模考中的隐蔽中点弦
• 十二、内接三角形外接圆的中点弦结论
• 1、椭圆
• 2、双曲线
• 3、抛物线
• 4、模考中的三角形外接圆斜率结论

一、深圳一模圆锥曲线第三定义

【深圳26届高三一调T19】（关注：Hi数学派）已知 ， 为椭圆 （）的左，右顶点，  为  上的一点， 为双曲线  上的一点（， 两点不同于  两点），设直线 ，，， 的斜率分别为 ，，，，且 .（1） 设  为坐标原点，证明：，， 三点共线；（2） 设 、 的右焦点分别为 、，、 均在第一象限，直线  与直线  相交于点 ， .（i） 证明：；（ii） 证明: .

解析：

（1） 设 ，

因为 ，则 

所以

因为 ，则 

则

由  得

所以 ，因此：，， 三点共线

（2）（i） 由 （1） 得

所以

因为 ， 都在第一象限，所以 ，

由 （1） 得

故

联立  ， 可得

设则椭圆 、双曲线  的焦距分别为 ，，则

则

所以

又

则

由此可知: 

（ii） 由 （i） 得

故直线  与直线  垂直，则 

且直线方程为

设点 ，于是

即

则点  的轨迹是以  为圆心，  为半径的圆，则 

因此

所以

二、新教材中出现的第三定义

1、椭圆的第三定义

人教 A 版新教材选择性必修第一册中第108页例3中给出了椭圆的第三定义（如下图）

2、双曲线的第三定义

人教 A 版新教材选择性必修第一册中第121页探究中给出了双曲线的第三定义（如下图）

三、细讲圆锥曲线第三定义

1、第三定义

【圆锥曲线第三定义】 平面内动点到两定点 ，（或 ，）的斜率乘积等于常数  的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当  时为椭圆，当  时为双曲线．

2、第三定义结论

【结论1】 为椭圆  的长轴两端点， 是椭圆上异于  的任一点，则有

证明： 设 ，，

又 

代入上式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

同理可证如下的结论2～4

【结论2】 为椭圆  的短轴两端点， 是椭圆上异于  的任一点，则有

【结论3】 为椭圆  的长轴（或短轴）两端点， 是椭圆上异于  的任一点，则有

【结论4】 为双曲线  的实轴（或虚轴）两端点， 是双曲线上异于 的任一点，则有（关注微信公众号：Hi数学派）

四、武汉4调这道第三定义19题

武汉四调第19题（原卷可以参看《考前百卷60 | 武汉四调抢先看（今年武汉模考卷一定要重视！）》），看图很吓唬人，但做起来第（2）问就是用两次第三定义！第（3）问，知道射影对应很容易得出点  在某个圆锥曲线上；另外由斜率关系也可以很容易看出  的斜率  和  的斜率  满足分式关系，同样可以得到  和  以及  和  的斜率关系，进而得到  和  的斜率关系，二者同样满足分式关系，进而二者的交点  在某个圆锥曲线上，最后还是利用第三定义的  点。

【25届武汉4调T19】（关注微信公众号：Hi数学派）如图，椭圆 （），，已知  右顶点为 ，且它们的交点分别为 ，，， .（1） 求  与  的标准方程；（2） 过点  作直线 ，交  于点 ，交  于点 ，设直线  的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ；（上述各点均不重合）（3） 点  是  上的动点，直线  交  于点  ，直线  交  于点 ，直线  交  于点 ，直线  与直线  交于点 ，求点  坐标，使直线  与直线  的斜率之积为定值.（上述各点均不重合）

解析：

（1） 由题意得 ，代入  可得

解得 ，

所以  与  的标准方程分别为  ，

（2）（关注微信公众号：Hi数学派）由题知， 和  关于原点对称，则由第三定义结论可知

则

（3） 设 ，，，，直线 、、、 的斜率分别为 、、、；

① 直线  可表示为

联立椭圆  ，消去  可得

展开并整理可得

由题知  是方程的一根，由韦达定理可得

将  代入  的表达式可得

代入  的表达式并进行代数化简

因此

②（关注微信公众号：Hi数学派）直线  可表示为

联立椭圆  ，消去  可得

展开并整理可得

由题知  是方程的一根，由韦达定理可得

将  代入  的表达式可得

代入  的表达式并进行代数化简

因此

③（关注微信公众号：Hi数学派）同理可得  和  的关系

④ 进而联立 、、 可得

⑤ 设点  ，则

将  代入  可得

即点  的轨迹是实轴为  轴的双曲线，其两个顶点为 ，

故由第三定义可知当  时，直线  与直线  的斜率之积为定值 

注： 第三定义的结论在答题卷上应当写出来不能直接使用。另外，由射影对应  与  可以得出点  的轨迹方程，有机会单独讲一下。

五、第三定义推广1

【引例1】 已知  是圆  的直径，点  是圆上一点，当 ， 斜率存在时，思考： 是否为定值？

解析： 因为  是直径，所以  ，，所以  为定值 .

【引例2】 已知  是椭圆  上关于原点对称的两个点，点  在椭圆上．当 ， 斜率存在时，思考： 是否为定值？

解析： 设 ，，则 

点  和点  在椭圆上，则有

作差得

即（关注微信公众号：Hi数学派）

 为定值 .

同理，焦点在  轴上的椭圆， 为定值 .

【引例3】 已知  是双曲线  上关于原点对称的两个点，点  在双曲线上．当  和  斜率存在时，思考： 是否为定值？

解析：设 ，，则 

点  和点  在双曲线上，则有

作差得

可得

 为定值 .

同理，焦点在  轴上的双曲线， 为定值 .

【结论5】 在椭圆  中， 是关于原点对称的两点，  是椭圆上异于   的一点，若 ， 存在，则有（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论6】 在椭圆  中， 是关于原点对称的两点，  是椭圆上异于   的一点，若 ， 存在，则有

【结论7】 在双曲线  ， 是关于原点对称的两点，点  在双曲线上异于  的一点，若 ， 存在，则有

【结论8】 在双曲线  ， 是关于原点对称的两点，点  在双曲线上异于  的一点，若 ， 存在，则有

六、第三定义推广2——中点弦

【引例4】 已知  是圆的一条弦，点  是  中点，当  和  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 点  是  中点，由垂径定理可得  ，所以 

注： 作点  关于原点  的对称点 ，由圆的对称性可知，点  在圆上；并连接 ，，则由中位线可知  ，所以  

【引例5】 已知  在椭圆  上，点  是  的中点，当  和  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 设 ，，

点  和点  在椭圆上，则有

作差得

同理，焦点在  轴上的椭圆， 为定值 .

注： 作点  关于原点  的对称点 ，由椭圆的对称性可知，点  在椭圆上；并连接 ，，则由中位线可知  ，所以  

【引例6】 已知  在双曲线  上，点  是  的中点，当  和  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 设 ，

点  和点  在双曲线上，则有

作差得（关注微信公众号：Hi数学派）

同理，焦点在  轴上的双曲线， 为定值 .

注： 作点  关于原点  的对称点 ，由双曲线的对称性可知，点  在双曲线上；并连接 ，，则由中位线可知  ，所以  

【引例6】 已知  在抛物线  上，点  是  的中点，当  斜率存在时，思考  是否为定值？

解析： 设 ，

点  和点  在抛物线上，则有 

作差得 

即 

同理可证焦点在  轴负半轴和  轴正负半轴的情形．

【结论9】 为椭圆  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则（关注微信公众号：Hi数学派）

【结论10】 为椭圆  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则

【结论11】 为双曲线  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则

【结论12】 为双曲线  的不平行于对称轴的弦， 为线段  的中点， 为原点，则

【结论13】 已知直线  与抛物线   相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

【结论14】 已知直线  与抛物线  相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

【结论15】 已知直线  与抛物线   相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

【结论16】 已知直线  与抛物线  相交于  两点， 点为线段  的中点， 为原点，则

七、有心圆锥第三定义表格总结

八、第三定义的六大应用

1、求离心率（或范围）

【典例1】 过点  作斜率为  的直线与椭圆  相交于 ，若  是线段  的中点，则椭圆  的离心率为___.

解析： 设 ，，则

两式相减可得

 是线段  的中点，，

 直线  的方程是 

代入  式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

2、求斜率、弦长

【典例2】 过椭圆  上一点  作圆  的切线，且切线的斜率小于 ，切点为 ，交椭圆另一点 ，若  是线段  的中点，则直线  的斜率 

 为定值  为定值  为定值  随  变化而变化

解析： 设 ，， ，则

化简可得

因为  是线段  的中点，故

代入化简可得  的斜率 

又直线  与  垂直，故 

解得 ，代入圆  可得 

故直线  的斜率为  为定值.

故选 

3、求轨迹方程

【典例3】 已知椭圆  的右焦点为  ，过点  的直线交椭圆  于  两点 . 若  的中点坐标为 ，则  的方程为___.

解析： 已知 ，设 ，则

两式相减可得（关注微信公众号：Hi数学派）

已知  的中点坐标为 ，则 ，

，即 

，，即  的方程为 

4、对称性问题

【典例4】  已知双曲线  上存在两点  关于直线  对称，且线段  的中点坐标为 ，则双曲线  的离心率为 

解析： 设 

 线段  的中点坐标为 

又  关于直线  对称

且  在双曲线上，则（关注微信公众号：Hi数学派）

两式相减可得

故选 

5、定点（定值）问题

【典例5】 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，、 是双曲线  上的两个动点，动点  满足  ，直线  与直线  斜率之积为 ，已知平面内存在两定点 、，使得  为定值，则该定值为___

解析： 设 ，，

则由  得 

即 ，

 点  在双曲线  上

，

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

设 ， 分别为直线 ， 的斜率，根据题意可知 

所以  在双曲线  上

设该双曲线的左，右焦点为  ，

由双曲线的定义可推断出  为定值，该定值为 

6、第三定义综合应用

【典例6】 设 、 分别为椭圆  的左、右顶点，设  是椭圆下顶点，直线  与  斜率之积为  .（1） 求椭圆  的标准方程；（2） 若一动圆的圆心  在椭圆上运动，半径为  . 过原点  作动圆  的两条切线，分别交椭圆于 、 两点，试证明  为定值. （关注微信公众号：Hi数学派）

解析：（1）（2） 为定值  （详解群内分享）

九、如此简单的中点弦竟压轴

该题来自广东省2026届普通高中毕业班第二次调研考试第19题。该题是一道传统的圆锥曲线压轴，但是似乎并没有任何难度。那中点弦能出有难度的题吗？可以考虑隐蔽的中点弦（高考上出过）、或是拓展成多条弦，另外中点弦其实就是圆锥曲线第三定义的变形，第三定义可以出比较有难度的题目。

【广东26届高三二调T19】（关注：Hi数学派）已知椭圆 ， 为坐标原点，点 ， 分别在直线  与  上， 是  上一点，，，， 四点构成平行四边形 。（1） 证明  是定值，并求该值；（2） 求平行四边形  面积的最大值；（3） 一族直线  （）与  交于点 ，，证明每条弦  被定直线平分，并求该直线的方程。

解析：（1） 由题，设 ，，，又 ，

因为四边形  是平行四边形，则

所以

即  是定值，且该定值为 。

（2）法一： 设  底边  的高为 ，中点为 ，则

当且仅当  最大，即  时取等

所以

法二： 设直线  的倾斜角为 ，则 ，， 或 。

由 （1） 知，在  中，由余弦定理得，

所以

即

当  时取等号。

所以当  时，

因此平行四边形  面积的最大值为

（3） 设 ，，则

两式相减变形得

由于

所以

任意弦  的中点均在直线  上

十、新高考中的隐蔽中点弦

【2022年新高考Ⅱ卷T16】（关注微信公众号：Hi数学派）已知椭圆  ，直线  与椭圆在第一象限交于  ，与  轴，  轴分别交于  且 ，，则直线  的方程为______ .

解析： 设  的中点为 ，即 

即无论图 1 还是图 2，点  也是  的中点

在直角三角形  中，由中线性质可知 

则 ，故 

由点差法可知 

所以 ，即 （ 两点在第一象限，）

设直线  为 

（ 舍去）

故直线  的方程为 

十一、模考中的隐蔽中点弦

【24届广东一模T14】（关注微信公众号：Hi数学派）已知直线  与椭圆  在第一象限交于  两点，  与  轴，  轴分别交于  两点，且满足 ，则  的斜率为______ .

解析： 注意到 

两端形式相同，且都能满足  的形式

设 ，则 

，且  在  单调递增

所以

如图 3，设  的中点为 ，则  也为   的中点

在直角三角形  中，由中线性质可知 

则 ，故 

由点差法可知 

所以 ，即 （ 两点在第一象限，）

【襄阳五中25 届高三5 月适应考（五）T14】（关注微信公众号：Hi数学派）如图，斜率为  的直线与椭圆 （）交于 ， 两点，与  轴、 轴分别交于点  ，，若 ，则椭圆  的焦距为 ________ .

解析： 设 ，

设  的中点为 ，则点  也为  的中点

由中点弦可知

注： 这题 、 是  的三等分点，又 、 在  轴、 轴上，进而可以用 ， 两点的坐标表示，进而利用中点弦解决。

十二、内接三角形外接圆的中点弦结论

1、椭圆

【结论1】（关注微信公众号：Hi数学派）点  在椭圆 （） 上，设  的外接圆的圆心为点  ，若  三边斜率存在，则

证法1，中点弦点差法： 如图 1，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点 

由点差法知

由外接圆垂径定理知

式  可得

整理得

（关注微信公众号：Hi数学派）同理有

式  得

又

所以

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

注： 三次方程齐次化的证法可以参看小派之前的推文《1486期 又是三角形外接圆斜率结论？中点弦与三次齐次化》

2、双曲线

【结论2】（关注微信公众号：Hi数学派）点  在双曲线 （，） 上，设  的外接圆的圆心为点  ，若  三边斜率存在，则

证法1，中点弦点差法： 如图 2，设 ，， 的中点分别为点 ，，，外接圆圆心为点 

由点差法知

由外接圆垂径定理知

式  可得

整理得 （关注微信公众号：Hi数学派）

同理有

式  得

又

所以（关注微信公众号：Hi数学派）

所以

注： 三次方程齐次化的证法可以参看小派之前的推文《1486期 又是三角形外接圆斜率结论？中点弦与三次齐次化》

3、抛物线

【结论3】（关注微信公众号：Hi数学派）点  在抛物线 上，设  的外接圆的圆心为点  ，则

证明： （感兴趣的同学可以仿照上面的中点弦和点差法，齐次化拓展法尝试一下）

4、模考中的三角形外接圆斜率结论

【重庆26届康德9月开学调研T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 （，）的虚轴长为  一条渐近线方程为 （1） 求 ；（2） 已知 ，， 是  上的三个不同点.（i） 若 ，点 ， 在  的同一支上，且  是等边三角形，求  ；（ii） 若 （异于原点 ）是  外接圆的圆心，直线 ，，， 的斜率均存在，并分别记为 ，，，，求  的值.

解析：（1）（2）（i）（ii）（详解群内分享）

注： 该题又是圆锥曲线内接三角形外接圆斜率结论，求解参看下面结论的证明

【河北“五个一”名校联盟25届高三一轮收官考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 （，）的焦点到渐近线的距离为 ，右顶点到点  的距离是  . 动圆 （点  为圆心）与  交于四个不同的点 ，，，，且直线 ， 的斜率分别为 ， .（1） 求  的方程.（2） 设直线  .（i） 判断点  是否在双曲线  上，并说明理由.（ii） 若 ，求直线  的一般式方程.（iii） 试问  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

解析：（1）（2）（i） 不在 （ii）（iii）（详解群内分享）

注： 该题是用的齐次化的拓展形式来解决的！这在以往模考中很少见，因为此法涉及到高次方程韦达定理。但该题是在19题，上点难度也是应当的，另外三次方程根与系数的关系在人教  版数学必修第二册  拓展阅读中给出过。