深圳市晟才高级中学2026届高考物理专题讲座:g

要让火箭在A点从较低轨道1进入较高轨道2，需要在A点加速（点火）。因此，火箭在轨道2上经过A点的速度大于在轨道1上经过A点的速度（第一宇宙速度）。因此，选项A是正确的，B是错误的。

如果要让火箭在B点从较低轨道2进入较高轨道3，需要在B点加速（点火）。根据开普勒第三定律，火箭在较高轨道上运行的周期较长。因此，选项C是错的。

此题答案为A。

例3.如下图，在格林童话《杰克与豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生长，从赤道一直长到同步轨道以上，与赤道共面，并相对地球静止。其中有三颗果实1、2和3，果实2在同步轨道上，则[    ]

A.果实3的加速度最大

B.果实2自然脱落后，仍与果实1和3保持相对静止

C.果实2和3的加速度与地面附近的g的关系为：g>a₂>a₃

D.果实1自然脱落后做近心运动

(四) 在质量分布均匀的球外的g值分布

这一函数关系可用下图表示：

（此图根据美国Paul G.Hewitt, Conceptual Physics, Figure 9.24改编而成）

例4.质量分布均匀的空心球壳内任一点的g为零。下图是两个质量分布均匀且自转角速度相等的两个星球P、Q的引力场中各处g与离球心距离r的函数图像。关于P、Q这两个星球，下列说法正确的是[   ]

A.它们的质量相等

B.它们的密度不相等

C.它们的第一宇宙速度之比为1：2

D.它们的同步卫星距星球表面的高度之比为1：3

在这个题中，有一个关于g的重要的结论：

[结论4] 在质量分布均匀的球壳内各处的g均为零。

下面我们来证明这一结论。

我们知道，对于半径不同的各种圆，它们的周长C与半径R之比为一常数，这个常数就是圆周角的大小：

为此，我们定义弧长S与半径R之比为（平面）角：

同理，对于半径不同的各种球，它们的球面积与半径的平方之比为一常数，这个常数就是球的立体角的大小：

为此，我们定义球面积与半径的平方之比为（立体）角：

如下图所示，在一个圆周内任意取一点P，过P点作两条直线。这两条直线在圆周上有两段长度不等但都很微小的弧，长分别为S1和S2；它们到P点的距离分别为R1和R2。

这两段弧对应的角是相等的。根据（平面）角的定义，我们有：

同样，在一个球壳内任意取一点P，过P点作四条直线。这四条直线在球壳上有两块面积不等（厚度相等）但都很微小的球壳元，面积分别为A1和A2 ；它们到P点的距离分别为R1和R2，如下图 。

这两段弧对应的（立体）角是相等的。根据（立体）角的定义，我们有：

下面我们来证明[结论4]。有一个厚度为d、密度为ρ的球壳。在球壳内任意找一点P，在这个点上放置一个质量为m的质点。通过P点在球壳上有两个对应的立体角均为Ω的球壳元1和2，如下图。

这两个球壳元的质量分别为：

根据万有引力定律，在P点的质点受到方向分别指向这两个球壳元的引力大小为：

因为两个对顶的立体角相等，

即

所以，

按此方法分析整个球壳在P点的引力，可得出P点的引力为零，即证明P点的g等于零，[结论4]得到了证明。

(五) 在质量分布均匀的球内的g值分布

下面我们根据[结论4]来分析质量分布均匀的球内某一处的引力场强度g与该 处离球心距离r之间的函数关系。

由于质量均匀分布的球壳内的g处处为零，因此，质量均匀分布的球内在离球心为r处的g等于半径为r的球在球表面处的g，即

g与r成正比。

[结论5] 在质量分布均匀的球内某处的g与该处离球心的距离r成正比。

这样，我们就得到了质量分布均匀的球内外某处的引力场强度g与该处离球心距离r的完整的函数关系：

下面我们来解析例题4。

解析：根据上图，r为0-R范围内的g-r函数关系是线性关系。根据公式

两星球的密度相等，B选项不正确。

根据密度公式和球体积公式，上式可写为：

根据题图，P星球的半径为R，Q星球的半径为2R。由此可知，

(六) 在质量分布不均匀的地球内的g值分布

(七) 练习

练习1.如图甲所示，质量分布均匀的球壳对其内部任意一点的万有引力为零。如图乙所示，将地球视为质量分布均匀的球体。从地表往地心挖一条很窄的矿井，从井口静止释放一物块。忽略摩擦和地球自转产生的影响。从地表到地心，物块的速度-时刻图像和加速度-时刻图像（a-t图像）大致正确的是[      ]

（答案：B）

练习2.嫦娥6号探测器曾实施月面挖土。假设月球质量M分布均匀，半径为R。在某次挖土过程中，质量为m的钻头进入月球表面以下h深处。则此时钻头受到的万有引力为[      ]