深圳高级中学的一次函数题太猛了?广州和其他城市的8下春季娃可以学到啥?
- 2026-06-15 22:07:32
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作者丨梁朝中 编辑丨梁朝中
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你好，我是梁朝中。
30年深耕初中数学一线教学。
猿辅导前金牌数学讲师，学员已经超过了10000+，还在继续。
也写了两本中考数学书，准备成为行业内，学情诊断，做最透彻的老师，干它一辈子。
带领大家启发数学思维，是另一个我想干的事情，
每年春季，我都会做线下数学思维学习课，深受好评。
年前的期末考试结束了，我写了一些期末真题试卷点评，收到很多家长和老师的私信。
私信说，能不能写一些深度的压轴解析，最好能呈现出思维实时进展的。
接下来，我会推出一个系列，目前已经更新到第12篇。
《2026年思维开窍和妙解压轴题》
这里有一道深圳高级中学8上期中压轴题，关于“一次函数的极径斜率自定义综合”问题，题目设计新颖、巧妙。
广东省内，含广州的14个城市中，初中数学课本是人教版，在春季的8年级下学期，才学到一次函数部分，这一道题，可以完美借鉴。
关于这一类思维的练习，在我写的两本书中，有详细拆解。
关于提升自家孩子的思维，大家如果有好的提议，可以放在下方评论区。
01
自定义和分类讨论
再次提升一次函数题的难度
深圳高级中学8上期中压轴20题干
·一次函数自定义极径斜率坐标
『定义：如图1，在平面内建立平面直角坐标系，y轴右侧的任意一点P（x，y），可以由点P到原点的距离d，以及OP所在直线y=kx的k来确定，称[d，k]为点P的极径斜率坐标：
连接PO并延长至y轴左侧一点P'，使P'O=PO，定义点P'的极径斜率坐标为[-d，k]。
这样，对于平面内除y轴外的任意一点，都有唯一的极径斜率坐标与它对应，反过来，对于任意一个极径斜率坐标[s，k]，s≠0，都有平面内除y轴外的一点与它对应。
【初步理解】将点A（4，3）、B（-1，4）转化为极径斜率坐标；
【深入探究】已知函数l：y=2x+3（x≠0）。
（1）如图2，在l上取一点P（t，2t+3），t>0，过点P作x轴的垂线，垂足为H，
设点P的极径斜率坐标为[s，k]，则OP所在直线为y=kx，
∴P（t，k），∴2t+3=kt，∴（k-2）t=3，
由勾股定理，s=OP=根号（OH2+PH2）=t·根号（k2+1），
s=t·根号（k2+1）两边同乘（k-2），消去t，可得s与k的数量关系：______，
对于t<0时情况同理，
∴对于l上任意一点[s，k]，都有上述s与k的数量关系成立。
（2）利用（1）中结论，在l的y轴左侧部分找一点Q，使QO=3，求出点Q的极径斜率坐标；
【拓展应用】如图3，y=kx与l1：y=2x+3、l2：y=x-2分别交于点M、N，若OM=2ON，求k的值。
』
01 理解极径斜率的定义
极径斜率坐标的形态是[囗，▲]。
囗，是这个点到原点的距离，要强调一点的是，如果点在y轴左侧，囗前面要加个负号。
▲，是这个点到原点的连线段所在直线的斜率k。
理解了这两点，再往下解题。
第1问：
点A（4，3），在y轴右侧，到原点的距离是5，斜率是3/4，极径斜率坐标是[5，3/4]；
点B（-1，4），在y轴左侧，到原点的距离是√17，是-√17，斜率是-4，极径斜率坐标是[-√17，-4]。
02 根据条件验证s和k的数量关系
❶当t>0时，
s=t·根号（k2+1）
两边同乘以（k-2）得：
（k-2）s=t（k-2）根号（k2+1）
而t（k-2）=3
∴s和k的数量关系式是：
（k-2）s=3根号（k2+1）
接下来看看t<0时的情况。
∴P（t，k），∴2t+3=kt，∴（k-2）t=3，
由勾股定理，
s=OP=根号（OH2+PH2）=t·根号（k2+1），
s=t·根号（k2+1）两边同乘（k-2）得，
（k-2）s=3根号（k2+1），
和当t>0时的数量关系保持不变。
❷当OQ=3，
点Q在y轴左侧的l上，设Q（t，2t+3）
勾股定理列方程：t2+（2t+3）2=9，t=-2.4，
得Q（-2.4，-1.8）
此时kOQ=3/4.
∴Q的极径斜率坐标为[-3，3/4]。
但以上是常规的求法，如果使用s和k的数量关系，再试试：
（k-2）s=3根号（k2+1）
（k-2）3=3根号（k2+1）
解方程得k=3/4，则Q的极径斜率坐标为[-3，3/4]。
非常方便。
03 用极径斜率坐标降维求k值
对于直线y=2x+3，有s和k的数量关系：
（k-2）s=3根号（k2+1）
对于直线y=x-2，
再按以上方法求s和k的数量关系：
（1-k）s=2根号（k2+1）
点M在l1上，点N在l2上，但M和N的横坐标有可能相同，有可能不同。
根据图示，点M和N同在第三象限，或者是M在第二象限、N在第四象限（图4和图5）。
❶当M和N都在第三象限时，
如图4：
可设M（-2s，k），N（-s，k），
分别代入关系式得：
（k-2）（-2s）=3根号（k2+1）
（1-k）（-s）=2根号（k2+1）
解得：k1=11/7
❷当M在第二象限，N在第四象限时，
如图5：
M（-2s，k），N（s，k），
分别代入关系式得：
（k-2）（-2s）=3根号（k2+1）
（1-k）（s）=2根号（k2+1）
解得：k2=5
综上所述：k=5或11/7。
02
自定义一次函数综合
一定要遵守的秘密
01 初次理解自定义
解题之前，需要深刻理解新定义。
新定义包含几层意思？一层、二层还是多层？
把所有的理解，先写下来。
如果漏掉了其中任何一种，解题立刻受阻。
02 s和k的数量关系考虑消参
奔着一个方向去推导，这就是消参。
本题中，参数是t。
先写出s和t的关系，要用到纵坐标是k倍横坐标。
k和t关系，要用到点的纵坐标的两种表达形式。
消参是一种思考，也是一种计算。
它考查考生的思维级别，不然，消参就会陷入异常复杂。
03 难度大，左右脑分工有要求
左脑思考和计算，右脑战胜情绪，稳住思绪，保持正常的呼吸，给左脑提供稳定的底盘，是当前现代青少年需要逐步完成的一项高级能力。
说到一次函数，对一次函数中的几何综合题型，是最熟悉不过的题型模样。
但是，现在题型设计在逐步去套路化。
去掉熟悉的部分，从条件，从图形，从给出超认知的新定义。
这种设计的目的是增加思考的权重，去掉熟悉背后的记忆，延缓考生得出结果的时间。
如果能利用新定义，结合基本功，通过理解，写出方程或不等式，是一种高级能力。
这种能力，叫做应用，这种应用，可以说是即兴表达。
在新的领地，播下思维的种子，照样开出灿烂的花。
思维 = 理解力+基本功+数学思想等。
而在这样的题型下，自定义和分类讨论并行。
在应用时，利用自定义之后产生的新结论，再结合分类讨论进行解题，一定会占用考生大量的左脑右脑的内存，难度较大。
03
广州、深圳等广东其他城市
一共21城 好题联动
广东省内的城市中，使用人教版的有14个城市：
广州、东莞、珠海、中山、惠州、江门、汕头
汕尾、潮州、韶关、肇庆、阳江、湛江、云浮
使用北师版的有7个城市：
深圳、佛山、揭阳、河源、梅州、清远、茂名
包括深圳、佛山在内的7座城市，是北师版，已经过去的8年级上学期考查了一次函数，产生了大量的一次函数好题型。
含广州在内的14座城市，使用的新人教版，到今年春季4月份后，才会开始学一次函数内容。
9年级的孩子们已经都学完了各版本的内容，纷纷进行一轮复习和一模备考。
低年级的孩子们，如果觉得能有更大的思维发展空间，可以根据自己的情况，将思维能力拉到天花板。
7下、8下，如果想找到更好的练习题型，除了每日每周的家庭作业之外，可以偶尔来这个公众号找一些好题目。
人教版的7下。平面直角坐标系这一章，在北师版的8上已经学完，优质习题可以参考广东省北师版的教学城市，如深圳、佛山等。
人教版的8下。勾股定理、一次函数的优质训练题，可以参照，北师版城市的期中、期末优质考题。
再看看北师版的。
北师版的7下。将会开设轴对称，这一章，在人教版的8上已经学完，可以借鉴广州、珠海、中山等人教版地区的优质题库进行思维开发。
北师版的8下。会学习三角形的证明、旋转还有因式分解、分式，这些内容，在人教版的8上已经全部学到。
广州、深圳、中山、珠海、佛山等地的优质教研、题型设计，可以互相学习，互相促进。
为孩子们对某些题型的思考，打开教研上的思路，不固步自封，拥抱多样性，去掉套路，提升思维的无限可能。
想要获取该题完整版PDF，扫梁老师二维码，添加好友，发送“0215”，即可获取。
下一篇文章的精选例题已备好。如果你想提前挑战，欢迎加我微信，回复“0221” 即可获取题目。先做题，再看解析，效果更佳！
写在最后
在春季里，梁老师有线上和线下两种课：
❶ 广州线下。初中生小组课程（新人教版）
❷广州/深圳/佛山/广东省内其他城市定制。火箭线上视频逆袭课程系统（含人教版/北师版）
如果您对梁老师的课程感兴趣，可以咨询梁老师，扫码添加微信，备注“线上/下+年级”，如“广州线下7”、“深圳线上8”、“东莞线上9”。
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