今天想讲一道来自2026年深圳二模T18的题。
这道题把圆锥侧面最短路、点的轨迹、平面角这三个内容放在了一起。题目不算长，但思路层次很清楚：第一问是几何最短路，第二问是轨迹与向量，第三问是平面角范围。它的难点，不在单步计算，而在于能不能及时把问题换成合适的对象来处理。
先看第一问。
题目给出圆锥PO，底面直径AB=2，母线PA=3，点M从A点出发，在圆锥侧面上绕轴PO一周后回到A点，求轨迹L的长度最小值。
这个问法如果直接在立体图里看，很容易绕。因为点M是在圆锥侧面上走，要求的是绕一周后回到A点的最短路线，本质上是侧面上的最短路问题。最自然的办法，是把圆锥侧面展开。
一、第一问：展开侧面，最短路就变成了直线
圆锥底面直径AB=2，所以底面半径OA=1。又因为母线PA=3，所以展开后的侧面是一个半径为3的扇形。
再来看扇形的圆心角。底面圆周长是 2π，这正好对应展开扇形的弧长。于是有
3φ = 2π，
从而得到
φ = 2π/3。
展开图中，点M绕轴PO一周后回到A点，实际上对应的是展开扇形上两个相邻的A点之间的路径。侧面上的最短路，在展开图里就是两点之间的线段，所以最短路径就是线段 A0A1 的长度。
由等腰三角形的弦长公式可得
A0A1 = 2×3×sin(φ/2)
= 6sin(π/3)
= 3√3。
所以第一问答案是 3√3。
这一步非常重要。很多同学会把“绕轴一周”理解成某条圆弧长度，实际上这题不是让你在底面上绕，而是让你在侧面上走。只要想到“展开”，题目就立刻清楚了。
二、第二问：把轨迹问题转成“找一个固定法向量”
第二问说：若点Q在圆O上，且 PM = 2/(3−cosθ)·PQ，其中θ是弧AQ所对的圆心角，0≤θ≤2π，证明：存在非零向量n，使得 AM⊥n 恒成立。
这类题最怕的地方，就是看见向量关系以后只会机械代入，却不知道真正要找什么。这里其实不是要你把M算得很漂亮，而是要你证明“无论θ怎么变，向量AM都和某个固定向量垂直”。换句话说，就是要找到轨迹所在平面的法向量。
为了把式子写清楚，可以建立空间直角坐标系。取底面圆心O为原点，令 OA 为 x 轴正方向，OP 为 z 轴正方向。因为 OA=1，PA=3，所以
OP = √(PA²−OA²) = √(9−1) = 2√2。
于是可以设
O(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,2√2)。
又因为Q在底面圆上，且弧AQ所对圆心角为θ，所以可设
Q(cosθ, sinθ, 0)。
由题设
PM = 2/(3−cosθ)·PQ，
可知 M 在直线 PQ 上。把它写成向量形式后，可以求出 M 的坐标，并进一步得到
AM = 1/(3−cosθ) · (−3(1−cosθ), 2sinθ, 2√2(1−cosθ))。
这一步后，去寻找一个固定向量 n，使得 AM·n 恒为0。观察可得取
n = (2√2, 0, 3)
就可以。直接验证：
AM·n
= [−3(1−cosθ)]·2√2 + [2√2(1−cosθ)]·3
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3−cosθ
= 0。
于是得到结论：存在非零向量 n=(2√2,0,3)，使得对任意 θ，AM⊥n 恒成立。
这说明点M的轨迹L始终落在一个固定平面上。因为所有 M 都满足与同一向量 n 垂直，所以 L 是平面曲线，且该平面的法向量就是 n。
这一问的本质，其实就是把一个变参数的问题，转成“寻找与参数无关的不变量”。这类题如果一上来就追着θ算，往往容易乱；如果能意识到“我要找一个固定方向”，思路就会顺很多。
三、第三问：用两个平面的法向量求角
第三问建立在第二问的基础上。已知L是平面曲线，设L所在平面为α，求平面MPO与α夹角的余弦值范围。
这一步还是法向量思路。
由第二问知，平面α的一个法向量是
n = (2√2, 0, 3)。
再看平面MPO。这个平面中有轴 OP，也有底面中的径向方向 OQ。由于
OP = (0,0,2√2)，
OQ = (cosθ, sinθ, 0),
所以平面MPO的一个法向量可以取
m = (-sinθ, cosθ, 0)。
两个平面夹角的余弦等于它们法向量夹角余弦的绝对值，因此
cosφ = |m·n| / (|m||n|)。
计算：
m·n = -2√2 sinθ，
|m| = 1，
|n| = √[(2√2)²+3²] = √17。
于是
cosφ = 2√2|sinθ| / √17。
因为 0≤|sinθ|≤1，所以
0≤cosφ≤2√2/√17。
这就是第三问的结果。
四、这道题的关键点
这道题的层次其实很分明。
第一问考的是：会不会想到把圆锥侧面展开。
这是解决侧面最短路最常见、也最自然的办法。
第二问考的是：会不会从“证明存在固定法向量”这个角度入手。
它真正要你找的，不是某一个具体点的坐标，而是轨迹背后的平面结构。
第三问考的是：会不会把平面角转化成法向量夹角。
这一步是空间向量里的常规思路，但前提是你已经把轨迹平面和另一个平面的法向量都找出来了。
这道题也有两个容易失分的地方。
一个是第一问里只写“最短为直线”却不交代展开图中的两个 A 点来源。
如果不说明“绕轴一周后回到 A，对应展开图中的相邻两点”，逻辑就不完整。
另一个是第二问里只顾着算 M 的坐标，却忘了题目真正要求的是“存在固定向量 n”。
也就是说，最后必须落到“AM·n=0 对所有 θ 成立”这个结论上，才能证明轨迹是平面曲线。
五、题目点评
我觉得这道2026年深圳二模T18出得比较有层次。
它没有把难点放在复杂运算上，而是一直在引导学生换观察对象：
第一问看展开图，第二问看法向量，第三问看平面法向量。
每一步都不是硬算，而是先把问题放到更合适的框架里。
对基础一般的同学来说，这题最值得记住的，不是某个结论，而是一个方法：
遇到圆锥侧面最短路，先想展开；
遇到轨迹证明，先想法向量；
遇到平面角，先想两个平面的法向量。
把这三件事想清楚，整道题就不会散。
最后答案再收一下：
第一问：3√3；
第二问：存在非零向量 n=(2√2,0,3) 使 AM⊥n；
第三问：cosφ 的取值范围为 [0, 2√2/√17]。
