参考答案
C【详解】由题意 ,解得 ,所以 ,当 时, ,所以当 时, 最大值为 ,当且仅当 时等号成立.
; .
则 . 设 ,
则 ,
.
当 时, 的最小值为 ,当 或 时,
的最大值为 4 . 则 的取值范围为 .
AD【详解】向量 ,所以 , 对于 ,向量 ,不共线,正确; 对于 ,向量 ,共线,错误; 对于 ,向量 相等,错误; 对于 ,向量 ,不共线,正确;
【详解】解: 当 时, 在 上是增函数,所以 ,解得 , 当 时， 在 上是减函数，所以 ，解得 ， 综上， 或 . 故选: .
【详解】在三角形 中,由余弦定理 , ,故 ,故 B 正确; 在 中，由余弦定理得: ，
，故 A 正确；
由余弦定理可知: 平分 , ，在三角形 ACD 中，由正弦定理可得: ,故 ,故 C 错误;
在 的外接圆上，如图，则 ， ，则 外接圆的直径 ,所以在 中,记 , ，由正弦定理得 ， ，又 ， 所以 ,其中 ,又因为 ,所以 的最大值为 ,故 D 正确. 故选 .
当 时, ,是定义域 上的偶函数,不合题意,
当 时， ， ，定义域为 ，关于原点对称，且 ,是奇函数,满足题意,综上, .
,则 ,因为 , , 当且仅当 时取等号,则 的最小值为 . 故答案为: .
(2)
【详解】(1)因为 ,且 为第二象限角,所以 .
(2) .
(2) ;
(3) .
【详解】(1)因为 ,且 与 共线,所以 ,解得 ;
(2) 与 垂直当且仅当 ，解得 ；
(3) 与 夹角为钝角当且仅当 且 与 不共线，解得
(2)
【详解】(1) 在 中,因为 ,由正弦定理 得 .
(2)因为 ，所以 ，由余弦定理 得 ，
解得 或 (舍),所以 的面积 .
( 2 )对称轴方程为 ；对称中心坐标为 ；
(3) .
【详解】(1)
( 2 )求对称轴:令 ，移项得 ，解得 ，从而对称轴方程为 .
求对称中心: 令 ,移项得 ,解得 ,从而对称中心坐标为
(3)将 的图象向右移动 个单位，得到:
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 倍,得到:
若 在区间 上单调递增,且 ,则该区间必须是正弦函数单调递增区间
的子集. 即需同时满足: ① ②
由①得: ；由②得: . 综上， 的取值范围需满足: .
又因为 ,讨论 的取值:
当 时: . 结合 ,得 .
当 时: ,无解; 当 时: 上界 ,与 矛盾,无解.
的取值范围为 .
- (1)(i) 的不动点为 的不动点为 ; (ii) ;
(2)见详解.
【详解】
(1)若 ，则 ，故 的不动点是 的不动点.
(2)(i) 若 即 ,所以 ,所以 的不动点为 ; 解 ,化简得 . 因为 的解是 的解,所以上述四次方程必有因式 , 利用长除法或待定系数法因式分解得 ,解得 , 所以 的不动点为 .
(ii) 由 得 ,
由
化简得 ,因为 的解是 的解,
所以上述四次方程必有因式 ,利用长除法或待定系数法因式分解得 , 因为 与 均恰有两个不动点,
故① ,或② 且 和 有同根， 由①解得 ，②中两方程相减得 ，故 ，带回任一方程解得 ，此时 与 的不动点均为 ,符合题意.
综上, 的取值范围是 .
(3) 由于 的不动点集是 的不动点集的子集,可设 的不动点集为 的不动点集为 ,即有 .
,即 是 的不动点, 同理,
若 ,则 ,矛盾,同理 ,故只能有 ,同理有 . 假设存在函数 使得 .
① ,即 对函数复合运算满足交换律.
②由①， .
若 ,则 ,另一方面 ,故
,矛盾,同理有 .
若 ,则 ,矛盾.
若 ,则 ,矛盾.
故不存在函数 满足 .
