2025年高考广州调研测试第14题•大罕原创

2025年高考广州调研测试第14题

大罕原创

      两个共底的正六棱锥内接于一个球，已知一个棱锥的面面角，求另一个棱锥的线面角．这样的设计不偏不怪，综合性强且解法巧妙，属于中档偏难的立体几何题．

    【题目】已知同底的两个正六棱锥P-ABCDEF和Q-ABCDEF的顶点都在同一个球面上，若正六棱锥P-ABCDEF的侧面与底面所成角为60°，则正六棱锥Q-ABCDEF的侧棱与底面所成角的正切值是  ______.

以上图形由大罕用几何画板绘出．

【解】如图，设O、O₁分别是球心、正六棱锥底面圆的圆心，M为AB的中点，OA=R，O₁A=r，PO₁=h，则∠PMO₁是棱锥P-ABCDEF的侧面与底面所成的角，即∠PMO₁=60°，
    在正三角形AO₁B中，MO₁⊥AB，易知MO₁=(√3/2)AB，即MO₁=(√3/2)r，
    ∵tan∠PMO₁=PO₁/MO₁=h/(√3/2)r，
且tan∠PMO₁=tan60°=√3，
    ∴h/(√3/2)r=√3，得h=(3/2)r.
    ∵∠QAO₁是正六棱锥Q-ABCDEF的侧棱与底面所成的角，
    ∴tan∠QAO₁=QO₁/AO₁=(2R-h)/r，
     而在Rt△PAO₁中，OO₁²+O₁A²=OA²，
    ∴(h-R)²+r²=R²，
解得2R=(h²+r²)/h，
    ∴tan∠QAO1=[(h²+r²)/h-h]/r=r/h=2/3.

    【议论】本题的画图是难点．两个正六棱锥，共底且内接于同一球，线段多，关系复杂，难以画得鲜明直观。公众号《GeoGebra与数学深度融合》“2026届高考广州调研测试第14题的GGB绘图和解析（重新）”给出的图形其实没有本文给出的图形精当。该文给出的吴老师的解答过于草率，且逻辑不清晰，说理欠当．

   大罕（王方汉）写于2026年元旦

以上两图分别是吴景峰老师的解答和GGB的绘图。