2026 东莞、揭阳高三年级 1 月调研考又考错位排列

（2026 东莞、揭阳高三T19）座位错排是一个十分有趣的问题. 现编号  的共  个同学及与其对应的编号为  的座位,即第  位同学的座位编号为  ,定义错排数  为将  共  个同学安排在编号为  的共  个座位上,其中有  个同学不在其对应座位上的情况数. 例如  . 另外,规定  . 

（1）计算：  ，  ； 

（2）当  时，随机将 4 位同学安排在 4 个座位上，设不在其对应座位上的同学人数为  ， 在其对应座位上的同学人数为  ，计  ，求  的分布列及期望. 

（3）定义错排概率  为随机地将这  位同学安排在  个座位上， 其中有  个同学不在其对应座位上的概率,证明:

先考虑第  封信,它有  种装法,记它装到了第  的位置中,接下来第  封信可以装到哪里呢?

根据分类计数原理, 进行一定的讨论.

① 第  封信装到 n 号信封中.

那么剩下的  封信全错排即可,有  种方法

② 第  封信没装到  号信封中.

那么只要对除了  号以外的  封信全错排即可,有  种方法.

因此根据分步计数和分类计数原理可知  其中  ,（此处跟马尔科夫链是同样问题）

【全错排通项公式的推导】

【另一递推公式】